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Representación del número pi como medida de volumen

La didáctica de las mates
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Aquí os va una nueva entrega dentro de la sección dedicada al número ?.  Como en artículos anteriores conseguimos relacionar el número ? con una medida de longitud y con otra de superficie, no podía faltar la relación con una medida de volumen o capacidad.  Aunque hay que matizar que en este experimento en concreto sigue saliéndonos al final una medida de longitud (podría haberse conseguido de todas formas construyendo un cilindro de madera de radio 5 cm y altura 40 cm, ya que la fórmula del volumen de un cilindro es ? ·r2·h; y con estas dimensiones  nos sale 1000·? cm3, o lo que es lo mismo ? dm3), nos pareció más interesante, a la vez que ingenioso, conseguir sacar a flote el número ?, y nunca mejor dicho, mediante el siguiente proyecto.           

OBJETIVO: Obtener una representación del número ? a través del volumen de un cuerpo.

CONTENIDOS:

  • Volumen de un círculo.
  • Volumen de una esfera.
  • Volumen de un ortoedro.
  • Principio de Arquímedes.

MATERIALES:

  • Esfera de madera de 18 cm de diámetro.
  • Cilindro de madera de 18 cm de diámetro y 12 cm de altura.
  • Recipiente de madera con una pared de metacrilato de base 36 x 27 cm. y altura superior a 22 cm.
  • Alcohol y algodón.
  • Colorante alimentario.
  • Rotulador.
  • Toallas.

            La esfera de madera es complicada de conseguir.  Nosotros la encargamos a un carpintero que la ensambló en tres piezas.  Para una mayor exactitud, la pieza de madera correspondiente a la zona esférica del medio podría estar rellenada con plomo, así al introducirla en el agua no flotaría y saldría mejor el experimento.  Con respecto al cilindro, aunque también fue encargado, es más fácil de conseguir.  Si además lo conseguimos que no flote en agua, mejor.  El recipiente de madera con la pared de metacrilato, mientras más preciso sea en sus medidas, mejor.

PROCEDIMIENTO:

1.     Llenamos el recipiente con agua teñida con colorante alimentario y esperamos a que repose.  Hacemos una marca de nivel con el rotulador en la pared de metacrilato.

2.     Sumergimos la esfera en el agua y esperamos a que repose.  Hacemos otra marca de nivel.

3.     Sacamos la esfera y la secamos, e introducimos el cilindro, observando que alcanza la misma cota de nivel.

4.     Medimos la distancia entre las dos marcas de nivel.

CONCLUSIONES:

            Como el volumen de una esfera es (4·?· r3)/3 , si el radio vale 9 cm, la esfera tiene un volumen de 972· ? cm3. El volumen de un cilindro es ?·r2·h. Nuestro cilindro  tiene 9 cm de radio y 12 cm de altura, por tanto 972·? cm3 (coincide con la esfera).  Nuestro recipiente tiene de base 36 x 27 = 972 cm2, lo que hace que la altura del agua que desalojan las figuras sea de ? cm.

OBSERVACIONES:

            Si los cuerpos geométricos con los que trabajamos no son sumergibles (caso nuestro al ser de madera), podemos recurrir al uso de dos barrenas de mano para poder sumergir las figuras.

 IMÁGENES: