En esta oportunidad, vamos a aprovechar la presencia del número ? en los conos, las esferas y los cilindros para demostrar la relación existente entre los volúmenes de dichos cuerpos, aprovechando de esta forma para dar una explicación a las distintas fórmulas de los volúmenes que nos aparecen en la materia de matemáticas desde 2º de la ESO en adelante.
OBJETIVO: Demostrar que Vcono + Vsemiesfera = Vcilindro y que Vcono = 1/3 Vcilindro y Vsemiesfera = 2/3 Vcilindro.
CONTENIDOS:
- Volumen de una esfera.
- Volumen de un cono.
- Volumen de un cilindro
- Principio de Arquímedes.
MATERIALES:
- Un cilindro de yeso.
- Tres conos de yeso de altura igual al cilindro.
- Una semiesfera de yeso de base igual a la del cilindro.
- Dos recipientes de plástico.
- Rotulador.
Para la construcción de los distintos cuerpos geométricos utilizamos unos moldes de diferentes materiales calculados en función de las dimensiones de una bola-regalo de 1€, de las que venden en las máquinas expendedoras para los niños. A partir del diámetro de dicha semiesfera se construye con un trozo de latón un cilindro con el mismo diámetro como base y de altura el radio de la base. Para el cono usamos un trozo de cartón de pizza en forma de sector circular con arco igual a la longitud de la circunferencia del cilindro y radio igual al resultado de aplicar el teorema de Pitágoras para el cálculo de la hipotenusa en un triángulo rectángulo isósceles de catetos igual al radio de la semiesfera (o de la base del cilindro).
Después de conseguir la fabricación de los moldes, rellenamos con yeso y agua y esperamos a que seque. Recordamos que se necesitan tres conos de estas dimensiones, un cilindro y la semiesfera. Como dato curioso observen que utilizamos para cada tipo de figura un material que nos sirva de molde distinto (plástico, latón y cartón) al alcance de los alumnos.
Cuando ya estén secas las figuras, las sacamos del molde y las lijamos para que no queden rugosas. Si quedan muchas grietas u oquedades, se puede aplicar una pasta para emplaste.
PROCEDIMIENTO:
1. Llenamos agua en los recipientes de plástico, dejamos que repose y hacemos una marca de nivel en cada uno de ellos.
2. Introducimos el cilindro y hacemos una nueva marca de nivel.
3. Sacamos el cilindro e introducimos tres conos, marcando el nuevo nivel.
4. Sacamos los conos e introducimos dos de ellos en el recipiente más pequeño, marcando el nuevo nivel.
5. Sacamos los dos conos e introducimos la semiesfera, y observamos que coinciden las marcas.
6. Introducimos un cono y la semiesfera en el recipiente grande y observamos que llega el agua a la altura del cilindro.
CONCLUSIONES:
El volumen de una esfera es (4/3)·?·r3 , por lo que la semiesfera tendrá (2/3)·?·r3 .
El cono de altura r y radio r tendrá (1/3)·?·r2·r = (1/3)·?·r3, luego dos conos equivalen a una semiesfera en estas condiciones.
El cilindro de altura r y radio r tendrá ?·r2·r = ?·r3. Así pues tres conos dan un cilindro, dos conos una semiesfera y un cono más una semiesfera dan un cilindro de estas dimensiones.
OBSERVACIONES:
El molde de plástico para la fabricación de la semiesfera es difícil de quitar, así que si se prefiere se puede dejar puesto; basta con tener en cuenta que cambian las dimensiones del diámetro de la base para la fabricación de las otras figuras.
Es conveniente que los recipientes de plástico donde sumergimos las figuras se ajusten en tamaño a las mismas, ya que así el nuevo nivel al sumergirlas se hará más patente. También podemos usar colorante o tinta china para teñir el agua y así ver mejor los niveles.
También sería conveniente secar las figuras una vez extraídas del agua, ya que al estar hechas con yeso sufre bastante degradación.
IMÁGENES:
