De nuevo relacionado con el misterioso número ?, vamos a aprovechar para estudiar más detenidamente la relación entre la superficie de una esfera con el área del círculo generado en su ecuador. Al tratarse de un objeto circular, lleva implícito el número ?, luego ya nos aparece de nuevo en otro proyecto. De paso, relacionaremos esta superficie con otra figura geométrica, como es el cilindro que circunscribe a una esfera, y la proyección de esta última en el desarrollo del área lateral del cilindro.
OBJETIVO: Dividir la superficie de una esfera en tres partes iguales.
CONTENIDOS:
- Área de una esfera.
- Área de un círculo.
- Área lateral de un cilindro.
MATERIALES:
- Dos pelotas de espuma de distinto tamaño.
- Dos puntas.
- Cuerda o lana.
- Escuadra y cartabón.
- Cartulina.
- Cartón.
- Espráis de pintura azul y blanca.
- Cuchilla.
- Alfileres.
Las pelotas de espuma, en especial la grande, conviene que no tenga dibujos, ya que al pintarla nos quedarían marcas. La utilización de cuerda o lana va en función de la adaptabilidad del material a la pelota pequeña, ya que vamos a tener que enrollar la cuerda o la lana a ella.
PROCEDIMIENTO:
1. Partimos la pelota de espuma pequeña por la mitad y clavamos una punta en el polo y en el centro del círculo de la base.
2. Enrollamos una cuerda alrededor de la punta situada en el polo hasta cubrir la superficie de la esfera. Podemos usar alfileres para sujetarla.
3. Hacemos una marca en el punto medio de la cuerda una vez desenrollada.
4. Enrollamos la cuerda ahora en la punta del centro de la base y observamos que cubrimos todo el círculo de la base empleando la mitad de la cuerda.
5. Enrollamos un trozo de cartulina alrededor de la pelota grande y dividimos en tres partes iguales la cartulina.
6. Calculamos el círculo que nos quedaría a la altura de las marcas y hacemos un molde de cartón para el hueco generado por ese círculo.
7. Introducimos el molde en la pelota y pintamos con espray la pelota por la parte del casquete. A continuación retiramos el molde y lo colocamos en la pelota justo por el polo opuesto. Volvemos a pintar el casquete del mismo color.
8. La banda central la pintamos de otro color.
CONCLUSIONES:
El área de una esfera es 4·?·r2 , lo que viene siendo 4 veces el área de un círculo (la base de la semiesfera). Con la cuerda o lana pretendemos llegar a sacar esta relación. El área lateral de un cilindro circunscrito a la esfera es 2·?·r x 2·r = 4·?·r2, luego coinciden. Si divido ese cilindro en partes iguales, también divido la esfera en partes iguales.
OBSERVACIONES:
La relación existente entre la superficie de una esfera y la superficie lateral de un cilindro que la circunscriba es el gran descubrimiento que hizo Arquímedes en el terreno de la geometría. Tan satisfecho quedó de tal descubrimiento que hizo grabar en su nicho un dibujo representativo de tal igualdad. De esta manera, y sin recurrir a recursos de mayor nivel, como puedan ser las proyecciones o las integrales, el cálculo de áreas de esferas, así como sus particiones, están al alcance de alumnos de 2º de la ESO.
IMÁGENES:
