Este nuevo proyecto nos va a permitir aproximar el número ? mediante un modelo probabilístico. El experimento en sí es bastante conocido por los ya iniciados en las matemáticas, pero cara al alumnado no deja de sorprenderles, especialmente por su sencillez en la ejecución y los buenos resultados que nos proporciona.
OBJETIVO: Conseguir una representación del número ? a través de la probabilidad.
CONTENIDOS:
- Ley de Laplace de probabilidad.
MATERIALES:
- Regla.
- Escuadra y cartabón.
- Rotulador.
- Calculadora.
- Caja de palillos.
- Cartulina.
La caja de palillos interesa que sea redondos y lo más finos posibles. Aún así, nosotros realizamos el experimento con palillos planos, para evitar así que rodaran por la cartulina y se salieran, y los resultados, como veréis a continuación, son del todo convincentes.
PROCEDIMIENTO:
1. Dibujamos en una cartulina unas líneas paralelas a distancia igual que la longitud de los palillos. Colocamos la cartulina en la mesa.
2. Tiramos 11 palillos en la cartulina. Anotamos en unas tablas los que tocan alguna de las líneas y los que no. A la vez, mandamos que haga lo mismo con otros tantos palillos alguno de los asistentes y que cuente también. Lo habitual es que toquen línea sobre 7.
3. Repetimos los lanzamientos hasta completar un total de 5, anotando el resultado de cada uno de ellos.
4. Dividimos el doble del número total de palillos (110) entre el número total de aciertos en los cinco lanzamientos. Debería salir una aproximación del número ?.
CONCLUSIONES:
Como la ley de Laplace dice, la probabilidad de que un suceso ocurra es igual a contar el número de casos favorables y dividirlo por el número de casos posibles, siempre que los sucesos sean equiprobables. En este caso, el número de sucesos posibles se asemeja al cálculo del área de un círculo de radio la longitud del palillo (?·r2) y el número de casos favorables se asemeja a calcular el área de un rectángulo de dimensiones r x 2r = 2r2. Así la probabilidad es 2r2/(?·r2) = 2/?. Por tanto, si lo que hacemos es multiplicar por 2 el número total de lanzamientos y dividirlo por el número de casos favorables, en realidad está despejando el valor de ? en el ejercicio de probabilidad anterior.
OBSERVACIONES:
La explicación real de por qué sucede esto, recurriendo a una descripción más matemática, utilizando variables aleatorias y la integración de la función de densidad correspondiente, la podéis encontrar en la red a través de la wikipedia en la siguiente dirección:
http://es.wikipedia.org/wiki/Aguja_de_Buffon
En esta página, además, generaliza el problema para el caso de que la aguja o palillo y la distancia entre líneas paralelas no coincidan.
Otra explicación, ahora utilizando senos y cosenos, la podéis encontrar en la siguiente dirección:
http://www.genciencia.com/matematicas/el-problema-de-la-aguja-de-buffon
Además, viene en la misma página un enlace a un simulador del experimento. A continuación, vamos a exponer los resultados obtenidos después de una semana de resultados con esos once palillos en una cartulina y realizado por los alumnos de 2º de la ESO y una gran cantidad de visitantes de la exposición:
| Nº de hoja | Tocan línea | No tocan | ? en la hoja | ? acumulado |
| 1 | 275 | 165 | 3,2 | 3,2 |
| 2 | 277 | 163 | 3,1768953... | 3,1884057... |
| 3 | 281 | 159 | 3,1316725... | 3,1692677... |
| 4 | 283 | 157 | 3,1095406... | 3,1541218... |
| 5 | 286 | 154 | 3,0769230... | 3,1383737... |
| 6 | 277 | 163 | 3,1768953... | 3,1447290... |
| 7 | 280 | 160 | 3,1428571... | 3,1444614... |
| 8 | 282 | 158 | 3,1205673... | 3,1414547... |
| 9 | 280 | 160 | 3,1428571... | 3,1416104... |
| 10 | 284 | 156 | 3,0985915... | 3,1372549... |
| 11 | 275 | 165 | 3,2 | 3,1428571... |
| 12 | 281 | 159 | 3,1316725... | 3,1419220... |
De esta tabla podemos obtener una buena aproximación en forma de fracción gracias a la tabla 9, en donde acumulamos 2521 palillos que tocaban, lo que consiguió la fracción 7920/2521 = 3,1416104..., lo que nos deja un error aproximado de 0,0000178.
IMÁGENES:
