A. D. E. N. U.

Podemos explicar de forma maravillosa, tener en nuestras manos una asignatura magnífica, y cómo no, unos alumnos estupendos, pero si no conseguimos que éstos centren su atención en nosotros y en el tema que se explica no conseguiremos absolutamente nada, y ese día nos iremos a casa con la amarga sensación de que nuestro esfuerzo no ha servido de mucho. Encontrar pues, actividades motivadoras es una labor fundamental en la docencia, es imposible lograr que nuestros alumnos presten atención y saquen todo el jugo que esperamos a un tema cualquiera si no están verdaderamente interesados en el mismo, y esto no lo lograremos sin llamar su atención.

En las asignaturas de ciencias, que son las que conozco, intentamos buscar relaciones con la vida cotidiana, apoyarnos en “y esto para qué sirve” que en ocasiones nos demandan nuestros alumnos, relacionar diversos temas y materias, y en algunas ocasiones nos da resultado buscar curiosidades. Aquí intentaré contaros, de forma coloquial y amena como ejemplo de lo anterior, una clase que a mí me ha resultado gratificante por el interés que mostraron mis alumnos, y la motivación nos la brinda una curiosidad matemática.

 

La raíz cuadrada nos permite gastar una mala pasada a más de un incauto, gracias a un error muy elemental, pero muy oculto, y que por ello tarda en ser descubierto. Demostraremos que  dos por dos es cinco, y que dos es igual a tres, como veis dos igualdades tan absurdas que intrigan, cuanto menos, y que por tanto, a nuestros alumnos les gustará buscar dónde está la trampa.

 

Comencemos con la demostración de que 2 * 2 = 5.

 

1º/ Partamos de una igualdad poco sospechosa, pero que lógicamente, y como estáis esperando un truco deberíais estudiar:

16 - 36 = 25 – 45

 

2º/ Sumamos a ambos miembros la misma cantidad, con lo cual no parece que estemos haciendo trampas, ¿verdad?

16 – 36 + 81/4 = 25 – 45 + 81/4

 

3º/ Ahora, haremos una serie de transformaciones, que os aconsejo estudiéis con sumo cuidado por si el truco estuviese aquí. Como sabemos:

16 = 4²                                                           25 = 5²

36 = 2 * 4 * 9/2                                  45 = 2 * 5 * 9/2

81/4 = (9/2)²   

Por tanto:

4² – 2 * 4 * 9/2 + (9/2)² = 5² – 2 * 5 * 9/2 + (9/2)²

 

4º/ Si recordamos la fórmula de una diferencia al cuadrado, aquello que estudiamos hace tiempo, sí eso, una de las llamadas expresiones notables:

(a – b)² = a² – 2 * a * b + b²

Utilizando la misma, podemos poner la expresión anterior como:

(4 – 9/2)² = (5 – 9/2)²

 

Pon mucha atención en este paso, y si no recordabas las expresiones notables, no te fíes y búscalas, porque cada vez falta menos para terminar y la trampa tiene que estar en algún sitio, porque está claro que 2 * 2 no es cinco, ¿verdad?

 

5º/ Lo que corresponde a continuación es hacer la raíz cuadrada a los dos miembros, porque si sólo se la hiciéramos a uno estaríamos haciendo trampas y eso no vale. Recuerda, si a los dos miembros de una igualdad les hago la misma operación la igualdad sigue siendo cierta, ya utilizamos esta premisa en el segundo paso. Si eso es correcto, y aquí tampoco estuviese el truco, la trampa, el fallo o como queramos llamarle, obtendríamos que:

4 – 9/2 = 5 – 9/2

 

6º/ Si continuamos con el criterio anterior, sumamos a los dos miembros de la igualdad 9/2 y seguirá siendo cierta la misma. Por tanto:

4 = 5

 

7º/ Y, ahora creo que ya nos han engañado, porque es obvio que esa igualdad no es cierta, y sin darnos cuenta, y utilizando por último que cuatro es dos por dos, nos han demostrado que dos por dos es cinco:

2 * 2 = 5

 

Revisad todos y cada uno de los pasos, comprueba los cálculos, ten en cuenta la jerarquía de las operaciones, la suma, resta y multiplicación de fracciones, las fórmulas utilizadas, … y si aún así no encuentras dónde está el error del planteamiento, no os preocupéis que os vamos a dar otra oportunidad, vamos a demostrar ahora, de forma similar que 2 = 3.

 

1º/ Partimos, de una igualdad sin discusión, al igual que hicimos en el ejemplo anterior:

4 – 10 = 9 – 15

 

2º/ Sumamos a ambos miembros la misma cantidad, 25/4.

4 – 10 + 25/4 = 9 – 15 + 25/4

 

3º/ Transformamos esa expresión en esta otra:

2² – 2 * 2 * 5/2 + (5/2)² = 3² – 2 * 3 * 5/2 + (5/2)²

 

4º/ Utilizando las expresiones notables:

(2 – 5/2)² = (3 – 5/2)²

 

5º/ Si hacemos la raíz cuadrada a los dos miembros:

2 – 5/2 = 3 – 5/2

 

6º/ Por tanto, y si sumamos a ambos miembros 5/2, obtenemos que:

2 = 3

 

Efectivamente, tal y como habéis descubierto todos, la trampa está en la raíz cuadrada, porque como todos sabemos: (-2)² = 2², y sin embargo no es cierto que (-2) = 2. En nuestros ejemplos, hemos cometido el error, en el paso número cinco, donde llegamos a la conclusión errónea de que (-1/2) = 1/2 porque (-1/2)² = (1/2)². Este hecho, os tiene que hacer pensar un poco, y no precipitaros a la hora de resolver ecuaciones que tienen la incógnita en el radical.

 

María Salmerón Jaén - 44.963.072-G - Profesora Física y Química