Para un mayor refuerzo de las potencias se me ocurrió una vez presentarles el juego de las llamadas torres de Hanoi.
La idea original consistía en el traslado de una torre de forma cónica a un segundo lugar utilizando una tercera posición como pivote. La torre en cuestión está formada por una serie de anillos concéntricos ordenados de mayor a menor radio y superpuestos uno encima del otro. Las reglas que tienen que cumplirse para su traslado a otra posición son:
· Mover los anillos de uno en uno.
· Nunca superponer un anillo de mayor radio encima de otro de menor radio.
La pregunta a la que hay que responder, y que está directamente relacionada con las potencias es la siguiente: ¿cuál es el menor número de movimientos que puedo realizar para trasladar la torre?
Para resolver este problema tenemos que pedirles a los alumnos que nos traigan una moneda de cada tipo de las que hay en circulación (de 2€, de 1€, de 50 céntimos, etc. )
Dibujamos en un papel tres cuadrados lo suficientemente grandes para abarcar la mayor moneda que tengamos y comenzamos situando en el primer cuadrado dos monedas únicamente, la de 2€ y la de 1€, colocando la de 2€ debajo. Para poder pasar las dos monedas al tercer cuadrado en el menor número de movimientos es preciso colocar la moneda de 1€ en el segundo cuadrado (el que va a hacer de pivote) y posteriormente colocar la de 2€ en el cuadrado final. Por último colocamos la moneda de 1€ encima y ya hemos trasladado la torre. Para resolver el juego con dos monedas hemos necesitado de un número mínimo de movimientos igual a 3.
Lo resolvemos ahora con tres monedas, y vemos que ahora tenemos que empezar situando la moneda más pequeña en la posición donde deseamos colocar la torre al final. Al cabo de 7 movimientos conseguimos finalizar el juego.
Podemos observar que si realizamos el juego con cuatro monedas tenemos que empezar situando la primera moneda en la posición pivotal y terminamos en un total de 15 movimientos. Para cinco monedas empezamos situando la primera moneda en la posición final y terminamos el juego en un total de 31 movimientos.
Esto quiere decir que el juego se resuelve en un total de 2n – 1 movimientos, siendo n el número de monedas que tenemos. Además, si n es par comenzamos situando la primera moneda en el pivote, y si n es impar la situamos en la posición final.
Otro juego que no nos llevaría tanto tiempo sería el de ir doblando una hoja de papel por la mitad. Entregaríamos a un alumno una hoja de papel para que la doblara. A continuación se la daríamos a su compañero para que la doblara de nuevo por la mitad. Éste se la daría a otro y así sucesivamente. Comprobarás que no se puede doblar más que unas seis o siete veces.
La pregunta que realizamos a continuación es: ¿qué grosor crees que tendría el papel si consiguiéramos doblarlo unas veinte veces? La respuesta que nos van a dar suele ser la palma de su mano, o como mucho una longitud comprendida entre sus brazos.
Teniendo en cuenta que un folio normal tiene un grosor de 0’7 mm. o bien 0’8 mm., como al doblar el papel estamos doblando esta cantidad, nos encontramos que el resultado mínimo sería 0’7 · 220, que da un total de 734003’2 mm., es decir, más de 734 metros, que es más del doble de la altura de la torre Eiffel, con sus 321 metros si contamos la antena. Y no digamos si consiguiéramos doblarlo unas 40 veces. Entonces tendría de grosor más de 769.658 kilómetros, una cantidad que dobla la distancia media de la Tierra a la Luna (384.400 km.)
Por último, comentar que a modo de introducción de esta unidad, se puede contar la historia del pago por la creación del juego del ajedrez, que consistía en dar un grano de trigo por la primera casilla e ir doblando esta cantidad hasta agotar las casillas, lo que llevaría al final a realizar un pago que supondría la plantación de tres veces la superficie total de la Tierra.
Roberto Manín Gutiérrez
10.888.086-R
PROFESOR DE MATEMÁTICAS
